Question

【题目】已知函数f（x）=2ex﹣ax﹣2（x∈R，a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=2ex﹣x﹣2，f′（x）=2ex﹣1，f′（1）=2e﹣1，

即曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率k=2e﹣1，又f（1）=2e﹣3，

故所求的切线方程是y=（2e﹣1）x﹣2

（2）解：当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立[f（x）]min≥0．

易知f′（x）=2ex﹣a．

①若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增；

又f（0）=0，∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=0，符合题意．

②若 a＞0，由f′（x）=0，解得x=ln ．

则当 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

∴x= 时，函数f（x）取得最小值．

当 ，即0＜a≤2时，当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=0，符合题意．

当 ，即a＞2时，当 时，f（x）单调递增，f（x）＜f（0）=0，不符合题意．

综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]

【解析】（1）利用导数的几何意义可得切线的斜率，再利用点斜式即可得出切线方程．（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立[f（x）]min≥0．f′（x）=2ex﹣a．对a分类讨论：若a≤0，利用单调性即可得出是否满足条件．②若 a＞0，由f′（x）=0，解得x=ln ．即可得出单调性，对 分类讨论即可得出．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．