Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（1）求证{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer 1

分析：（1）利用{a_n}的通项公式，表示出第n项与第n+1项，推出二者的关系，即可判断是否是等比数列，然后求{a_n}的通项公式；
（2）设等差数列{b_n}的公差为d，各项为正，通过T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求出数列的公差，即可求T_n．

解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），-----（1分）
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）．--------（3分）
又a₂=2S₁+1=3，∴a₂=3a₁．-----------（4分）
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a_n=3^n-1．---（6分）
（2）设{b_n}的公差为d，
由T₃=15得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，--------（8分）
故可设b₁=5-d，b₃=5+d，
又a₁=1，a₂=3，a₃=9，
由题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，--------（10分）
解得d₁=2，d₂=-10．-----------（12分）
∵等差数列{b_n}的各项为正，∴d＞0．∴d=2，-------（13分）
Tn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n．-----------（15分）

点评：本题是中档题，考查数列的判断，数列的定义的应用，数列的递推关系式的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，计算能力．