【题目】研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明:该校学生居住地到学校的距离(单位:千米)和学生花费在上学路上的时间(单位:分钟)有如下的统计资料:
到学校的距离(千米) | 1.8 | 2.6 | 3.1 | 4.3 | 5.5 | 6.1 |
花费的时间(分钟) | 17.8 | 19.6 | 27.5 | 31.3 | 36.0 | 43.2 |
如果统计资料表明与有线性相关关系,试求:
(1)判断与是否有很强的线性相关性?
(相关系数的绝对值大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性,精确到0.01)
(2)求线性回归方程(精确到0.01);
(3)将分钟的时间数据称为美丽数据,现从这6个时间数据中任取2个,求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率.
参考数据:,,,,
,
参考公式:,
【答案】(1)与有很强的线性相关性;(2);(3)
【解析】
(1)通过计算线性相关系数可得答案;(2)根据题意写出统计表,用统计表中的数据求出横标和纵标的平均数,利用最小二乘法做出线性回归方程的系数、,写出线性回归方程;(3)根据(2)中求出的线性回归方程,求出符合要求的数据个数,再列出全部情况,由古典概型的公式,求出所求概率.
(1)∴与有很强的线性相关性
(2)依题意得
,,
所以
又因为
故线性回归方程为
(3)由(2)可知,当时,,当时,,所以满足分钟的美丽数据共有3个,设3个美丽数据为、、,另3个不是美丽数据为、、,则从6个数据中任取2个共有15种情况,即,,,,,,,,,,,,,,,其中,抽取到的数据全部为美丽数据的有3种情况,即,,.所以从这6个数据中任取2个,抽取的2个数据全部为美丽数据的概率为
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【题目】下列命题中:
①若命题,,则,;
②将的图象沿轴向右平移个单位,得到的图象对应函数为;
③“”是“”的充分必要条件;
④已知为圆内异于圆心的一点,则直线与该圆相交.
其中正确的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
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【题目】在第十五次全国国民阅读调查中,某地区调查组获得一个容量为的样本,其中城镇居民人,农村居民人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民人,农村居民人.
(Ⅰ)填写下面列联表,并判断是否有的把握认为,经常阅读与居民居住地有关?
城镇居民 | 农村居民 | 合计 | |
经常阅读 | |||
不经常阅读 | |||
合计 |
(Ⅱ)从该地区居民城镇的居民中,随机抽取位居民参加一次阅读交流活动,记这位居民中经常阅读的人数为,若用样本的频率作为概率,求随机变量的分布列和期望.
附:,其中
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【题目】在平面上给定相异两点A,B,设P点在同一平面上且满足,当且时,P点的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆,现有双曲线(,),A,B为双曲线的左、右顶点,C,D为双曲线的虚轴端点,动点P满足,面积的最大值为,面积的最小值为4,则双曲线的离心率为______.
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【题目】某公司生产某种产品,一条流水线年产量为件,该生产线分为两段,流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级,具体见下表:
第一段生产的半成品质量指标 | 或 | 或 | |
第二段生产的成品为一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生产的成品为二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生产的成品为三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
从第一道生产工序抽样调查了件,得到频率分布直方图如图:
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、元、元.
(Ⅰ)以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标,估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值;
(Ⅱ)将频率估计为概率,试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润;
(Ⅲ)现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段,价格是万元,使用寿命是年,安装这种设备后,流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布,且不影响产量.请你帮该公司作出决策,是否要购买该设备?说明理由.
(参考数据:,,)
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【题目】在平面直角坐标系中,圆的方程为,且圆与轴交于两点,设直线的方程为.
(1)当直线与圆相切时,求直线的方程;
(2)已知直线与圆相交于两点.(i),求直线的方程;(ii)直线与直线相交于点,直线,直线,直线的斜率分别为,,,是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知为坐标原点,点,,过点作的平行线交于点.设点的轨迹为.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)已知直线与圆相切于点,且与曲线相交于,两点,的中点为,求三角形面积的最大值.
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【题目】已知椭圆的右焦点为,是椭圆上一点,轴,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆交于、两点,线段的中点为,为坐标原点,且,求面积的最大值.
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