Question

10．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的渐近线和圆x²+y²-6y+8=0相切，则该双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据双曲线方程得到它的渐近线方程为bx±ay=0，因为渐近线与圆x²+（y-3）²=1相切，故圆心到直线的距离等于半径，用点到直线的距离公式列式，化简得c=3a，可得该双曲线离心率．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即bx±ay=0
又∵渐近线与圆x²+（y-3）²=1相切，
∴点（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于半径1，
即$\frac{3a}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=1，解之得c=3a，可得双曲线离心率为e=$\frac{c}{a}$=3，
故选：C．

点评 本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的基本概念等知识，属于中档题．