Question

函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=2x²-12x+16，则方程f（x）=m有两个零点的实数m的取值范围是（　　）

A．（-6，6）

B．（-2，6）

C．（-6，-2）∪（2，6）

D．（-∞，-6）∪（6，+∞）

Answer 1

分析：根据f（x+1）为奇函数，以及x＞1时，f（x）=2x²-12x+16，求得x＜1时，f（x）的解析式．由题意可得，直线y=m与函数f（x）图象交点个数为2，数形结合求得实数m的取值范围．

解答：解：∵f（x+1）为奇函数，可得 f（-x+1）=-f（x+1），即 f（-x+1）+f（x+1）=0，
故函数f（x）图象关于点（1，0）对称，∴f（x）+f（2-x）=0．
当x＜1时，有2-x＞1，又当x＞1时，f（x）=2x²-12x+16，故函数的最小值为f（3）=-2．
∴当x＜1时，f（x）=-f（2-x）=-[2 （2-x）²-12（2-x）+16]=-2x²-4x=-2x（x+2），故函数的最大值为2．
直线y=m与函数f（x）图象的所有交点的个数，就是方程f（x）=m的零点的个数．
由题意可得，直线y=m与函数f（x）图象交点个数为2．如图所示：
故实数m的取值范围是 （-6，-2）∪（2，6），
故选C．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．