Question

【题目】已知函数 ，若满足f（1）=
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）为奇函数．
（3）判断并证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（1）= ；

∴ ；

∴a=1

（2）解：证明： ；

该函数定义域为R，f（﹣x）= ；

∴f（x）为奇函数

（3）解： ，可看出x增大时，f（x）增大，∴f（x）在R上为增函数，证明如下：

设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：

= ；

∵x1＜x2；

∴ ， ；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在R上为增函数

【解析】（1）根据f（1）= 便可求出a=1；（2）写出 ，定义域显然为R，容易得到f（﹣x）=﹣f（x），从而得出该函数为奇函数；（3）分离常数得到 ，根据单调性定义便可判断该函数在R上单调递增，根据增函数的定义证明：设任意的x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ， 然后作差，通分，根据指数函数的单调性证明f（x1）＜f（x2）即可得出f（x）在R上单调递增．
【考点精析】利用函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．