Question

（本小题满分12分）

某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室(如图所示)，ABCD是一块边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在  上。设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在   的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？ 

Answer 1

θ=0或θ=

解：延长GH交CD于N，则NH="40" sinθ,CN="40" cosθ 
∴HM="ND=50-40" cosθ,    AM="50-40" sinθ   …………………………2分
故S="(50-40" cosθ)(50-40 sinθ)                …………………………3分
=100［25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ］(0≤θ≤)…………………………4分
令t=sinθ+cosθ=sin(θ+)              
则sinθcosθ=且t∈［1, ］         …………………………6分
∴S=100［25-20t+8(t²-1)］=800(t-)²+450   …………………………8分
又t∈［1, ］∴当t=1时，S_max=500 
此时sin(θ+)=1sin (θ+)=      …………………………10分
∵≤θ+≤π  ∴θ+=或π 
即θ=0或θ=                         …………………………12分