Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），则（　　）

A．f（x）是奇函数，但不是偶函数

B．f（x）是偶函数，但不是奇函数

C．f（x）既是奇函数，又是偶函数

D．f（x）既非奇函数，又非偶函

Answer 1

分析：由题意可得给a，b赋值，即令a=b=1，可得f（1）=0，再令a=b=-1，可得f（-1）=0，令a=x，b=-1，即可得到答案．

解答：解：由题意可得：令a=b=1，则有f（1）=2f（1），
所以f（1）=0，
再令a=b=-1，则有f（1）=-2f（-1），
所以f（-1）=0，
若令a=x，b=-1，
所以有f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），即f（-x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数．
故选A．

点评：本题考查了函数奇偶性的定义，即f（-x）与f（x）的关系，而研究抽象函数的奇偶性一般运用的方法是赋值法，此题是个基础题．