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(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.

(1)求这三条曲线的方程;

(2)已知动直线过点,交抛物线于两点,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.

 

【答案】

(1)

(2)

【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义、几何性质以及灵活运用知识解决问题的能力。

解:(Ⅰ)设抛物线方程为,将代入方程得

由题意知椭圆、双曲线的焦点为

对于椭圆,

对于双曲线,

(2)设的中点为的方程为:,以为直径的圆交两点,中点为

思路拓展:(1)求圆锥曲线的标准方程,往往要优先考虑运用定义、几何性质;

(2)解答存在性问题,往往要先假定存在,然后利用已知条件,若能推出合理结果,则肯定能存在,否则,假设不成立,不存在。

 

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2),它们在x轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.
(1)求这三条曲线的方程;
(2)已知动直线l过点P(3,0),交抛物线于A,B两点,是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出L′的方程;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(2,1),它们在y轴上有一个公共焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.
(1)求这三条曲线的方程;
(2)已知动直线l过点P(0,3),交抛物线于A、B两点,是否存在垂直于y轴的直线m被以AP为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出m的方程;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2),它们在x轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.
(1)求这三条曲线的方程;
(2)对于抛物线上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,求a的取值范围.

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.(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.(Ⅰ)求这三条曲线的方程;(Ⅱ)已知动直线过点,交抛物线于两点,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.

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