Question

14．已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax-2（a＞0），若?x∈[-1，2]，恒有（x）＞g（x）成立，则a的取值范围是0＜a＜2$\sqrt{2}$-2；若?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围是a≥$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 ①?x∈[-1，2]，恒有f（x）＞g（x）成立，化为“?x∈[-1，2]，h（x）=f（x）-g（x）＞0恒成立”，
由此求出实数a的取值范围；
②?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），转化为x₂∈[-1，2]时，g（x₂）的值域A与f（x₁）的值域B的关系是A?B，由此求出实数a的取值范围．

解答 解：①根据题意，当?x∈[-1，2]时，恒有f（x）＞g（x）成立，
即?x∈[-1，2]，h（x）=f（x）-g（x）＞0恒成立，
又a＞0时，h（x）=（x²-2x）-（ax-2）=x²-（2+a）x+2的对称轴是x=1+$\frac{a}{2}$＞1，
所以，当1+$\frac{a}{2}$≤2，即a≤2时，h（x）在x∈[-1，2]上的最小值是
h（1+$\frac{a}{2}$）=${（1+\frac{a}{2}）}^{2}$-（2+a）（1+$\frac{a}{2}$）+2=-${（1+\frac{a}{2}）}^{2}$+2＞0，
解得0＜a＜2$\sqrt{2}$-2；
当1+$\frac{a}{2}$＞2，即a＞2时，h（x）在x∈[-1，2]上是减函数，最小值是
h（2）=4-2（2+a）+2＞0，解得a＜1，不满足题意，舍去；
综上，实数a的取值范围是0＜a＜2$\sqrt{2}$-2；
②由①知，?x₁∈[-1，2]时，f（x₁）=[-1，3]；
又?x₁∈[-1，2]，都?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴当x₂∈[-1，2]时，a＞0，g（x）=ax-2是增函数，
g（x₂）的值域为[g（-1），g（2）]，且满足[g（-1），g（2）]?[-1，3]；
即$\left\{\begin{array}{l}{-a-2≤-1}\\{2a-2≥3}\end{array}\right.$，解得a≥$\frac{5}{2}$；
∴实数a的取值范围是a≥$\frac{5}{2}$．
故答案为：0＜a≤$\frac{1}{2}$；a≥$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，解题时应根据题意构造函数，求出函数的最值和值域，分类解答，是综合性题目．