Question

9．已知抛物线y²=2px（p＞0）经过点M（2，4），其焦点为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求这两条曲线的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点作抛物线的切线l，求切线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线y²=2px（p＞0）经过点M（2，4），可得抛物线的方程，即可求出椭圆的焦点，利用椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$，求出a，b，即可得出椭圆的方程；
（2）设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y=k（x+2），带入抛物线方程，利用判别式等于0，即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y²=2px（p＞0）经过点M（2，4），
∴4²=2p×2，解得p=4，…（2分）
∴抛物线的标准方程为y²=8x．…（3分）
∴抛物线的焦点为（2，0），即椭圆的焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），即c=2．      …（4分）
又∵椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴a=4，b=2$\sqrt{3}$，…（6分）
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．…（7分）
（2）由题意知切线l的斜率存在，设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y=k（x+2）．…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$消去y，得方程k²x²+（4k²-8）x+4k²=0．…（10分）
∵l与抛物线相切，∴△=（4k²-8）²-4k²•4k²=0，∴k=±1，…（12分）
∴切线l的方程为y=x+2或y=-x-2．…（14分）

点评 本题考查抛物线、椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．