Question

【题目】如图，已知椭圆的左顶点，且点在椭圆上， 、分别是椭圆的左、右焦点。过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若为等腰三角形，求点的坐标；

（3）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立方程组进行求解；（2）依据题设条件建立直线的方程，然后联立方程组求解；（3）先建立直线的方程，再与椭圆方程联立，求出点的坐标；然后建立的方程，与的方程联立，求出点的坐标，借助点在椭圆上建立方程进行求解：

解：（1）由题意得 ，解得

椭圆的标准方程：

（2） 为等腰三角形，且 ， 直线的方程，由得或

（3）设直线的方程，

由得

若则， ， 与不垂直；

， ， ，

直线的方程，直线的方程：

由解得

又点在椭圆上得，即，即

，