Question

已知点P是圆O：x²+y²=3上动点，以点P为切点的切线与x轴相交于点Q，直线OP与直线x=1相交于点N，若动点M满足：，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点F（2，0）的动直线与曲线C相交于不在坐标轴上的两点A，B，设，问在x轴上是否存在定点E，使得？若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点M的坐标为（x，y），相应的点P的坐标为（x，y），进而可得直线PQ和OP的方程，求得Q和N的坐标，进而可x和y分别表示出x和y，代入圆方程即可得到曲线C的方程．
（2）设存在定点E（t，0）使得，设直线AB的方程为：x=my+2（m≠0），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）用A，B的坐标分别表示出，代入，可求得λ的表达式，和联立方程消去x，利用韦达定理求得y₁+y₂和y₁y₂，代入（1）式进而求得t，确定E的坐标．
解答：解：（1）设点M的坐标为（x，y），相应的点P的坐标为（x，y），则x²+y²=3，
直线PQ的方程为：xx+yy=3，所以点Q的坐标为，
直线OP的方程为：，所以点N的坐标为，
因此：，
即：，
所以曲线C的方程为：
，
即；
（2）设存在定点E（t，0）使得，
设直线AB的方程为：x=my+2（m≠0），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由得到-y₁=λy₂，
即，
，得到：，
即：（my₁+2-t）y₂+y₁（my₂+2-t）=0，
即2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0（1）
由方程组：
得到：（my+2）²-3y²=3，
即（m²-3）y²+4my+1=0，
所以：m²-3≠0，且，
代入（1）式得到：，
要对满足（m≠0）且m²-3≠0的实数m恒成立，
只需要2+（t-2）×4=0，即，
所以存在定点使得．
点评：本题主要考查了双曲线的标准方程和双曲线与直线的综合问题．当求直线与双曲线的关系时常需要联立方程消元后根据韦达定理找到解决问题的突破口．