Question

20．对于每个正整数n，设f（n）=$\sum_{i=1}^{100}[lg（in）]$，若f（n）＜300，求n的最大值．

Answer 1

分析 根据条件，先将函数式化简为f（n）=lg（100！）+100lnn，再通过分离变量求n的最大值．

解答 解：∵f（n）=$\sum_{i=1}^{100}[lg（in）]$＜300，
∴lg（1×n）+lg（2×n）+lg（3×n）+…+lg（100×n）=lg（100！）+100lnn＜300，
两边同时除以100得，lg$\root{100}{100!}$+lnn＜3，
分离变量n得，n＜$\frac{10^3}{\root{100}{100!}}$，
其中，$\root{100}{100!}$≈37.8，
所以，n＜$\frac{1000}{37.8}$≈26.5，
因此，正整数n的最大值为：26．
补充说明：一个常用极限$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{\root{n}{n!}}$=e，可供解题参考．

点评 本题主要考查了数列求和与不等式恒成立问题的解法，以及对常用极限的应用和估算，属于中档题．