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已知函数f(x)=ln(x+a),g(x)=数学公式x3+b,直线l:y=x与y=f(x)相切,
(1)求a的值
(2)若方程f(x)=g(x)在(0,+∞)上有且仅有两个解x1,x2求b的取值范围,并比较x1x2+1与x1+x2的大小.(3)设n≥2时,n∈N*,求证:数学公式数学公式+…数学公式<1

解:(1)设切(x0,y0),y0=x0
∴x0+a=1,且y0=ln(x0+a)=0,∴x0=0,a=1(3分)
(2)ln(x+a)=,得
令h(x)=
在(0,1)上h(x)<0,故h(x)在(0,1)单调减
在(1,+∞)上,h(x)>0,故h(x)在(1,+∞)单调增
,若h(x)图在(0,+∞)内x轴有两个不同的交点,则
,此时h(3)=
所b的范围为.(8分)
由上知,方程f(x)=g(x)在(0,+∞)上有且仅有两个x1、x2,满足0<x1<1,x2>1,
∴x1x2+1-(x1+x2)=(1-x1)(1-x2)<0
∴x1x2+1<(x1+x2
(3)求导数可证f(x)≤x,即ln(x+1)≤x(10分)
故n≥2,n∈N*时,lnn<n-1
(12分)
(13分)
分析:(1)考查导数的几何意义,方程思想解决
(2)考查构建函数,利用导数求函数范围,利用图象数形结合列式求解
(3)考查利用导数证明不等式,构建函数能力
点评:本题考查导数的综合应用,对学生的能力要求较大,属于难题
练习册系列答案
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已知函数f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)当a=1时,若直线l:y=kx-2与曲线y=f(x)在(-∞,0)上有公共点,求k的取值范围.

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已知函数f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函数y=f(x)的最小值;
(2)证明:对任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函数f(x)图象上存在点M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得点M处的切线l∥AB,则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地,当x0=
x1+x2
2
时,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问:当x≥e时,对于函数f(x)图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.

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已知函数f(x)=x2-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y-1=0垂直,若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn,则S2012的值为(  )

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已知函数f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,
6
)上单调递减,在(
6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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