Question

如图，设平面AC与平面BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P∈平面AC，Q∈平面BD，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，且M在BC上，又直线PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ＝，(0°＜＜90°)，设线段PM＝a，求PQ的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：设PMR＝α，作PR⊥MQ于R，显然PR⊥平面BD． 　　作RN⊥BC于N，连PN，则PN⊥BC．∴∠PNR＝45°，∠PQM＝β． 　　在直角ΔPMR中：PR＝asinα，MR＝acosα． 　　在直角ΔMNR中：NR＝MRsin＝acosαsin． 　　∵PR＝NR，∴asinα＝acosαsin． 　　∴tanα＝sin，cosα＝，sinα＝． 　　在ΔPMQ中由正弦定理： 　　＝， 　　∴PQ＝＝． 　　评析：本题是利用正弦定理通过解斜三角形求出PQ的长，当然也可以通过三个直角三角形中的关系转换，先出求PR，最后在直角ΔPQR中利用锐角函数处理，相比之下，还是给出的解法略为简便些．

提示：

在ΔPMQ中因为PM＝a，∠PQM＝β，欲求PQ的长，根据正弦定理只要能求出sin∠PMR就行了．