Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，满足4S=

3

（a²+b²-c²）．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC外接圆半径R=

3

，且sinA+sinB=2

6

cosAcosB+

6

，求

1

a

+

1

b

的值．

Answer 1

考点：正弦定理的应用

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）首先利用三角形的面积公式，代入原题的关系式中，通过运算求出C的大小
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论首先对角进行变换，进一步利用正弦定理求出a+b=

2

ab，代入

1

a

+

1

b

，从而求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）由于S=

1

2

absinC，于是2absinC=

3

(a2+b2-c2)=2

3

abcosC
即：tanC=

3

，于是C=

π

3

（Ⅱ）由于cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=-cosC=-

1

2

，
于是cosAcosB=sinAsinB-

1

2

，所以sinA+sinB=2

6

sinAsinB
由正弦定理得：

a

2R

+

b

2R

=2

6

×

ab

2R×2R

，代入R=

3

得：a+b=

2

ab，
所以

1

a

+

1

b

=

2

点评：本题考查的知识要点：三角形的面积公式，正弦定理公式的应用，两角和的余弦的应用及相关的运算问题．