Question

（2012•自贡一模）已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx．
（I）求f（x）的解析式；
（II）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是3．如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，结合当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx．我们可以根据函数奇偶性的性质，得到x∈[-e，0）时，函数的解析式，进而得到f（x）的解析式；
（II）由（I）中函数的解析式，我们可以求出函数的导函数的解析式，分类讨论后可得：当a＜-

1

e

$}-\frac{1}{e}$时，-e≤x≤

1

a

?f′（x）=a-

1

x

＜0，此时函数f（x）有最小值，再由f（x）的最小值是3，构造关于a的方程，解方程即可求了答案．

解答：（1）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]，∴f（-x）=-ax+ln（-x），
又f（x）为奇函数，f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x）
∴函数f（x）的解析式为f(x)=

ax-ln(-x) ax+lnx

x∈[-e，0)； x∈(0，e]．

（4分）
（2）假设存在实数a符合题意，先求导f′(x)=a-

1

x

，
①当a≥-

1

e

时，由于x∈[-e，0）．则f′(x)=a-

1

x

≥0．
∴函数f（x）=ax-ln（-x）是[-e，0）上的增函数，
∴f（x）_min=f（-e）=-ae-1=3，则a=-

4

e

＜-

1

e

（舍去）．（8分）
②当a＜-

1

e

时，-e≤x≤

1

a

?f′（x）=a-

1

x

＜0；

1

a

＜x＜0?f′（x）=a-

1

x

＞0；
则f（x）=ax-ln（-x）在[-e，

1

a

]上递减，在[

1

a

，0)上递增，
∴f(x)min=f(

1

a

)=1-ln(-

1

a

)=3，解得a=-e²，
综合（1）（2）可知存在实数a=-e²，使得当x∈[-e，0）时，f（x）有最小值3．（12分）

点评：本题考查的知识点是导数在最大值、最小值问题中的应用，函数解析式的求解及常用方法，其中结合奇函数的性质，求出函数的解析式是解答本题的关键．