Question

20．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）（x∈R）
（1）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若△ABC中，A=$\frac{π}{4}$，f（$\frac{B}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，求f（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{12}$）

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式求得f（$\frac{π}{4}$）的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，诱导公式求得 cosB和sinB的值，再利用两角和差的正弦公式、诱导公式求得f（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{12}$）的值．

解答 解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），f（$\frac{π}{4}$）=2sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$．
（2）△ABC中，由A=$\frac{π}{4}$，f（$\frac{B}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，可得 2sin（B+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=2cosB=$\frac{8}{5}$，∴cosB=$\frac{4}{5}$，sinB=$\frac{3}{5}$．
故f（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{12}$）=2sin（C-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=2sinC=2sin（A+B）=2sin$\frac{π}{4}$cosB+2cos$\frac{π}{4}$sinB=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{4}{5}$+2×$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{7\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题．