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设函数f(x)满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若数列{an}满足:an+1=3f(an)-1(n∈N+),且a1=1,求数列{an}的通项;
(Ⅲ)求证:
3
2
≤(1+
1
2f(n-1)
f(n-1)<2,(n∈N+
分析:(Ⅰ)运用赋值的方法,令x=y=0,求出f(1)=2,再令y=0可得f(x)的解析式;
(Ⅱ)运用待定系数法,找出an+1+1与an+1的位数关系,结合等比数列的通项公式,求出数列{an}的通项;
(Ⅲ)运用二项式定理,结合不等式的知识与放缩法,从而证出不等式恒成立.
解答:解:(Ⅰ)因f(0)=1.
若令x=y=0,得f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=2
再令y=0得f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,可得f(x)=x+1,x∈R
(Ⅱ)∵f(x)=x+1,∴an+1=3f(an)-1=3(an+1)-1=3an+2,
∴an+1+1=3(an+1),又a1+1=2,∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列,
∴an+1=2•3n-1,即an=2•3n-1-1
(Ⅲ)∵f(x)=x+1,x∈R,∴T=[1+
1
2f(n-1)
]
f(n-1)
=(1+
1
2n
)
n
,n∈N*
T=
C
0
n
+
C
1
n
(
1
2n
)+
C
2
n
(
1
2n
)
2
+
C
3
n
(
1
2n
)
3
+…+
C
r
n
(
1
2n
)
r
+
≥1+n•
1
2n
=
3
2

另一方面:因为
C
r
n
(
1
2n
)
r
=
m(n-1)(n-2)-(n-r+1)
nr•1•2•3…r
(
1
2
)
r
(
1
2
)
r

所以T≤1+
1
2
+(
1
2
)
2
+…+(
1
2
)
r
+…+(
1
2
)
n

=
1-(
1
2
)n+1
1-
1
2
=2(1-
1
2n+1
)=2-
1
2n
<2

综上可得命题成立.
点评:数列与不等式相综合是考试的热点,也是难点.第一小问赋值的同进应该注意一个“巧”字,不要出现重复累赘,不得其法;第二小问除待定系数的方法外还可利用利用作差构造新数列的方法,同学们不妨作个尝试;第三小问证明不等式恒成立,在结合二项式定理的同时还要注意式子的适当放缩,从而达到证明的目的.
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1
2
),c=f(3)
,则a、b、c三者的大小关系是(  )
A、a<b<c
B、c<a<b
C、c<b<a
D、b<c<a

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2f(n)+n
2
(n∈N*),且f(1)=2,则f(20)为(  )
A、95B、97
C、105D、192

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1
2
)=
1
2
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  1. A.
    f(x)=2
  2. B.
    f(x)=数学公式
  3. C.
    f(x)=x2
  4. D.
    f(x)是定义在R上的奇函数,且满足对一切实数x1,x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|成立

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