Question

（文）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，设

PE

EC

=λ，PA=AB．
（I） 证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）当λ=1时，平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比．

Answer 1

分析：（I）里面线面垂直的性质证明BD⊥PC；
（Ⅱ）当λ=1时，确定E的位置，然后根据椎体的体积公式进行求体积比．

解答：解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，
又底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
因为PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，
因为PC?面PAC，
所以BD⊥PC．
（Ⅱ）当λ=1时，

PE

EC

=1，即E是PC的中点．
设AC，BD的交点为O，连结OE，
则OE∥PA，所以OE是三棱锥E-BCD的高，且OE=

1

2

PA．
设PA=AB=1，则OE=

1

2

，
所以三棱锥E-BCD的体积为

1

3

×

1

2

×1×

1

2

=

1

12

，四棱锥V-ABCD的体积为

1

3

×1×1=

1

3

，
所以剩余部分的体积为

1

3

-

1

12

=

1

4

，
所以两部分的体积比

1

4

：

1

12

=3：1．

点评：本题主要考查线面垂直的判断和性质，以及锥体的体积公式．