(12分)已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求函数
的单调区间;
(2)若对于都有
成立,试求
的取值范围;
(3)记.当
时,函数
在区间
上有两个零点,求实数
的取值范围.
(1)的单调增区间是
,单调减区间是
(2)
(3)
解析试题分析:(1)由题意知直线的斜率为1.
函数的定义域为
,
,
所以,所以
.
所以,
.
由解得
;由
解得
.
所以的单调增区间是
,单调减区间是
. ……4分
(2),由
解得
;由
解得
.所以
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
所以当时,函数
取得最小值,
.
因为对于都有
成立,所以
即可.
则. 由
解得
.
所以的范围是
……8分
(3)依题得,则
.
由解得
;由
解得
.
所以函数在区间
上为减函数,在区间
上为增函数.
又因为函数在区间
上有两个零点,所以
解得.所以
的取值范围是
……12分
考点:本小题主要考查导数的几何意义、利用导数求单调区间、已知单调性求参数的取值范围以及函数的零点个数问题,考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用以及运算求解能力.
点评:导数是研究函数性质尤其是单调性的重要工具,研究函数的性质时不要忘记求函数的定义域,在定义域范围内求解;第(3)问函数的零点问题要结合函数的图象进行转化.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知函数,
,设
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若以函数图像上任意一点
为切点的切线的斜率
恒成立,求实数
的最小值;
(Ⅲ)是否存在实数m,使得函数的图像与函数
的图像恰有四个不同的交点?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数
(1)若a>0,求函数的最小值;
(2)若a是从1,2,3三个数中任取一个数,b是从2,3,4,5四个数中任取一个数,求f (x)>b恒成立的概率。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分16分)
已知函数,
,
.
(1)当时,若函数
在区间
上是单调增函数,试求
的取值范围;
(2)当时,直接写出(不需给出演算步骤)函数
(
)的单调增区间;
(3)如果存在实数,使函数
,
(
)在
处取得最小值,试求实数
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题14分)设函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)已知,若函数
的图象总在直线
的下方,求
的取值范围;
(Ⅲ)记为函数
的导函数.若
,试问:在区间
上是否存在
(
)个正数
…
,使得
成立?请证明你的结论.
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