试题分析:解法一:(1)取BC中点H,连结FH,EH,设正方体棱长为2.
∵F为BCC
1B
1中心,E为AB中点.
∴FH⊥平面ABCD,FH=1,EH=
.
∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角,且FH⊥EH.
∴tan∠FEH=
=
=
.……6分
(2)取A
1C中点O,连接OF,OA,则OF∥AE,且OF=AE.
∴四边形AEFO为平行四边形.∴AO∥EF.
∴∠AOA
1为异面直线A
1C与EF所成角.
∵A
1A=2,AO=A
1O=
.
∴△AOA
1中,由余弦定理得cos∠A
1OA=
.……12分
解法二:设正方体棱长为2,以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB
1为z轴,建立空间直角坐标系.则B(0,0,0),B
1(0,0,2),E(0,1,0),F(1,0,1),
C(2,0,0),A
1(0,2,2).
(1)
=(1,-1,1),
=(0,0,2),且
为平面ABCD的法向量.
∴cos<
,
>=
.
设直线EF与平面ABCD所成角大小为θ.
∴sinθ=
,从而tanθ=
.……6分
(2)∵
=(2,-2,-2).∴cos<
,
>=
.
∴异面直线A
1C与EF所成角的余弦值为
.……12分
点评:解决的关键是根据异面直线所成角的定义, 以及线面角的概念,结合向量法来得到,属于基础题。