Question

4．平面内动点P（x，y）与两定点A（-2，0）、B（2，0）连线的斜率之积等于-$\frac{1}{3}$，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（-1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于C、D两点
（Ⅰ）求曲线E的方程
（Ⅱ）求证：AC⊥AD
（Ⅲ）求四边形ACOD面积的最大值（O为坐标原点）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线的斜率公式整理即可求得曲线E轨迹的方程；
（Ⅱ）由题意可知：设其直线方程为：x=my-1，代入直线方程，由韦达定理及向量的数量积的坐标运算，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=0，即可求得AC⊥AD；
（Ⅲ）即S_ACOD=2S_△COD，S_ACOD=2×$\frac{1}{2}$丨OQ丨丨y₁-y₂丨，由（Ⅱ）即可求得S_ACOD═2$\sqrt{-\frac{3}{（{m}^{2}+3）^{2}}+\frac{4}{{m}^{2}+3}}$，即可求得四边形ACOD面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：$\frac{y}{x-2}$•$\frac{y}{x+2}$=-$\frac{1}{3}$（x≠2），整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$（x≠2），
曲线E的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$（x≠2）；
（Ⅱ）当直线CD的斜率不为0时，过点Q（-1，0），设其直线方程为：x=my-1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1}\\{x=my-1}\end{array}\right.$，：整理得：（m²+3）y²-2my-3=0，
则y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+3}$．
$\overrightarrow{AC}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{AD}$=（x₂+2，y₂），
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂），
=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1，
=（m²+1）（-$\frac{3}{{m}^{2}+3}$）+m•$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$+1，
=$\frac{-3（{m}^{2}+1）+2{m}^{2}+{m}^{2}+3}{{m}^{2}+3}$=0，
∴AC⊥AD．
（Ⅲ）由Q是A，O中点，则四边形ACOD的面积为2倍的三角形COD的面积，即S_ACOD=2S_△COD，
S_ACOD=2×$\frac{1}{2}$丨OQ丨丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2m}{{m}^{2}+3}）^{2}+\frac{12}{{m}^{2}+3}}$，
=2$\sqrt{\frac{4{m}^{2}+9}{（{m}^{2}+3）^{2}}}$，
=2$\sqrt{-\frac{3}{（{m}^{2}+3）^{2}}+\frac{4}{{m}^{2}+3}}$，
当m=0时，四边形ACOD面积最大，最大值为2．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查向量数量积的坐标运算及三角形面积公式的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．