Question

已知直线y=2x+b与曲线y=

2x-x2

有且仅有一个公共点，则b的范围是

[-4，0）∪

5-2

．

Answer 1

分析：先整理C的方程可知曲线C的图象为半圆，要满足仅有一个公共点，有两种情况，一种是与半圆相切，根据原点到直线的距离为半径1求得b，一种是与半圆相交但只有一个交点，根据图象可分别求得b的上限和下限，最后综合可求得b的范围．

解答：解：依题意可知曲线C的方程可整理成y²+（x-1）²=1（y≥0）
要使直线l与曲线c仅有一个公共点，有两种情况
（1）直线与半圆相切，原点到直线的距离为1，即

|2+b|

5

=1，b=

5

-2
（2）直线过半圆的右顶点和过半圆的左边顶点之间的直线都满足
过右顶点时，4+b=0，b=-4；过左顶点时，b=0，故b的范围为-4≤b＜0
综上，b的范围是[-4，0）∪{

5

-2}
故答案为：[-4，0）∪{

5

-2}．

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生对数形结合思想，分类讨论思想，转化和化归的思想的综合运用．