Question

15．已知α是直线l的倾斜角，且sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，则直线l的斜率为$-\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由已知两边平方求得2sinαcosα，可得α∈（$\frac{π}{2}，π$），进一步求得sinα-cosα，联立方程组求得sinα，cosα的值，则直线l的斜率可求．

解答 解：∵α是直线l的倾斜角，∴0≤α＜π，
由sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，两边平方得：2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，
∴α∈（$\frac{π}{2}，π$），
则sinα-cosα=$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}-4sinαcosα}$=$\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{48}{25}}=\frac{7}{5}$．
解得：sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$-\frac{3}{5}$，
∴tanα=$-\frac{4}{3}$．
即直线l的斜率为$-\frac{4}{3}$．
故答案为：$-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，考查了三角函数的化简求值，是中档题．