Question

已知函数f（x）=x+（x＞0），a为常数，且a≠0．
（1）研究函数y=f（x）的单调性，并说明理由；
（2）如果函数y=f（x）的值域为[6，+∞），求a的值．

Answer 1

解：（1）由f（x）=x+，得，
当a＜0时，恒成立，所以函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞0时，令，解得，令，解得，
所以函数y=f（x）在上为减函数；在上为增函数．
（2）由（1）可知当a＜0时，函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时函数的值域为R，不合题意；
当a＞0时，函数y=f（x）在上为减函数；在上为增函数，
此时函数的值域为，即．
综上，a=9．
分析：（1）由函数的解析式f（x）求出导函数，然后分a小于0和a大于0两种情况，分别令导函数大于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围即为函数的递增区间；令导函数小于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围即为函数的递减区间；（2）由（1）知，当a小于0时，函数在区间（0，+∞）上单调递增，值域为R，不合题意；当a大于0时，根据函数的增减性得到函数的最小值为f（），求出f（）的值即可得到函数的值域，又函数的值域为[6，+∞），所以得到f（）的值等于6，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
点评：此题考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的最值，掌握导数在最值问题中的应用，是一道综合题．