Question

5．已知函数f（x）=$\frac{2x}{x+1}，x∈[{-3，-2}]$
（1）求证：f（x）在[-3，-2]上是增函数；
（2）求f（x）得最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）设x₁＜x₂∈[-3，-2]，作差判断f（x₁）＜f（x₂），可得：f（x）在[-3，-2]上是增函数；
（2）结合（1）中函数的单调性，可得f（x）得最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{2x}{x+1}，x∈[{-3，-2}]$
设x₁＜x₂∈[-3，-2]，
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＜0，x₂+1＜0，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=2-\frac{2}{{x}_{1}+1}-2+\frac{2}{{x}_{2}+1}=\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-3，-2]上是增函数；
（2）由（1）中f（x）在[-3，-2]上是增函数，
∴当x=-3时，f（x）_min=f（-3）=3，
当x=-2时，f（x）_max=f（-2）=4．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数单调性的判断与证明，函数的最值，难度中档．