Question

19．△ABC中，AB=6，AC=8，若$\overrightarrow{DB}$$+\overrightarrow{DC}$=0，则$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BC}$=14．

Answer 1

分析 以AC所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则B在以A为圆心，6为半径的圆上，设B（6cosθ，6sinθ），求出各向量的坐标，由$\overrightarrow{DB}$$+\overrightarrow{DC}$=0知D是BC的中点，故∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），用坐标解出$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BC}$．

解答 解：以AC所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），C（8，0），
∵AB=6，∴B在以A为圆心，6为半径的圆上，设B（6cosθ，6sinθ），（θ≠0）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（6cosθ，6sinθ），$\overrightarrow{AC}$=（8，0），$\overrightarrow{BC}$=（8-6cosθ，-6sinθ），
∵$\overrightarrow{DB}$$+\overrightarrow{DC}$=0，∴D是BC的中点，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=（3cosθ+4，3sinθ），
∴$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BC}$=（3cosθ+4）（8-6cosθ）-18sin²θ=32-18cos²θ-18sin²θ=32-18=14．
故答案为：14．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，画出符合条件的图形，建立坐标系是关键．