Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．
（I）证明：MC∥平面PAD；
（II）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，取PA的中点E，连接ME，DE，
∵△PAB中，M、E分别为PB、PA的中点，∴EM∥AB且EM=AB．
又∵AB∥DC，且DC=AB，∴EM∥DC，且EM=DC
∴四边形DCME为平行四边形，∴MC∥DE，
又∵MC?平面PAD，DE?平面PAD，所以MC∥平面PAD；
（Ⅱ）取PC中点N，连接MN，则MN∥BC
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵AC²+BC²=2+2=AB²，∴AC⊥BC
∵PA∩AC=A，PA⊥BC，AC⊥BC．∴BC⊥平面PAC，
∵MN为△PBC的中位线，可得BC∥MN
∴MN⊥平面PAC，可得∠MCN为直线MC与平面PAC所成角，
∵NC=PC=，MC=PB=，
∴Rt△MCN中，cos∠MCN==，
即直线MC与平面PAC所成角的余弦值为．
分析：（Ⅰ）取PA的中点E，连接ME、DE，可以证出四边形DCME为平行四边形，从而得到MC∥DE，再利用线面平行的判定定理即可得到MC∥平面PAD；
（Ⅱ）取PC中点N，连接MN，利用线面垂直的判定定理可证出BC⊥平面PAC，结合BC∥MN可得MN⊥平面PAC，∠MCN为直线MC与平面PAC所成角，最后在Rt△MCN中利用三角函数的定义，可求直线MC与平面PAC所成角的余弦值；
点评：本题在特殊的四棱锥中求证线面平行并求直线与平面所成角的余弦，着重考查了直线与平面平行的判定定理、线面垂直的判定定理等知识，同时考查学生的计算能力和空间想象能力，正确作出辅助线是解决本题的关键．