分析 由辅助角公式化简得f(x)=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin(2x+θ),结合已知不等式得f($\frac{π}{6}$)是函数的最大或最小值,由正弦函数的最大值、两角和的正弦公式化简,求出θ、a与b的关系式,根据条件的三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,对各选项逐个加以判断.
解答 解:由题意得,f(x)=asin2x+bcos2x=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin(2x+θ),
其中角θ满足cosθ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$,sinθ=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
∵f(x)≤|f($\frac{π}{6}$)|对一切x∈R恒成立,
∴f($\frac{π}{6}$)=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$或-$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$,此时2×$\frac{π}{6}$+θ=$\frac{π}{2}$+kπ(k∈Z),得θ=$\frac{π}{6}$+kπ,k∈Z,
则$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=|f($\frac{π}{6}$)|=|$\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b$|,化简得a=$\sqrt{3}$b,
对于①,f($\frac{11π}{12}$)=±$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin(2×$\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{6}$)=sin2π=0,故①正确;
对于②,根据函数的表达式,得f(-x)≠±f(x),故y=f(x)既不是奇函数也不是偶函数,故②正确;
对于③,|f($\frac{7π}{10}$ )|=|$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin(2×$\frac{7π}{10}$+$\frac{π}{6}$)|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$|sin$\frac{47π}{30}$|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin$\frac{17π}{30}$,
∵|f($\frac{π}{5}$ )|=|$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin(2×$\frac{π}{5}$+$\frac{π}{6}$)|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$|sin$\frac{17π}{30}$|,
∴|f($\frac{11π}{12}$)|=|f($\frac{π}{5}$)|,故③不正确;
对于④,∵a=$\sqrt{3}$b,∴f(x)=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin(2x+θ)=2|b|sin(2x+θ),
则f(x)的振幅为2|b|>|b|,∴经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象必相交,
即直线必与函数f(x)的图象有交点,故④不正确;
对于⑤,∵a=$\sqrt{3}$b>0,∴f(x)=2bsin(2x+$\frac{π}{6}$),
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ(k∈Z)$得,$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ(k∈Z)$,
∴f(x)的单调递增区间是$[-\frac{π}{3}+kπ,\frac{π}{6}+kπ](k∈Z)$,
则[kπ+$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{2π}{3}$](k∈Z)不是增区间,故⑤不正确.
故答案为:①②.
点评 本题考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,辅助角公式、两角和的正弦公式,考查化简、变形能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 第44行81列 | B. | 第45行80列 | C. | 第44行80列 | D. | 第45行81列 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{π}{2}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4 | B. | 1 | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{4}{3}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com