Question

已知偶函数f：Z→Z满足f（1）=1，f（2011）≠1，对任意的a、b∈Z，都有f（a+b）≤max{f（a），f（b）}，（注：max{x，y}表示x，y中较大的数），则f（2012）的可能值是________．

Answer 1

1
分析：先根据已知条件求出f（2），f（3），f（4）…找到其规律即可得到答案．
解答：证明：∵f（1）=1，f（a+b）≤max{f（a），f（b）}
f（2）≤max{f（1），f（1）}=1，即f（2）≤1，
f（3）≤max{f（1），f（2）}=1，即f（3）≤1，
f（4）≤max{f（1），f（3）}=1，即f（4）≤1，
…，
f（2011）≤max{f（1），f（2010）}=1，即f（2011）≤1．
因为 f（2011）≠1，所以f（2011）＜1，
从而 f（2012）≤max{f（1），f（2011）}=1，即f（2012）≤1．
假设 f（2012）＜1，
因为 f（x）为偶函数，所以f（-2011）=f（2011）．
于是 f（1）=f（2012-2011）≤max{f（2012，f（-2011）}=max{f（2012），f（2011）}＜1，
即 f（1）＜1．这与f（1）=1矛盾．
所以f（2012）＜1不成立，从而只有f（2012）=1．
故答案为：1．
点评：本题主要考察函数的值．解决本题的关键在于一步步向前推，找到其最基本的地方即可．