Question

已知曲线C：y=

1-x2

和直线l：y=x-a，若曲线C和直线l有且仅有两个不同的交点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：根据直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进行研究即可．

解答： 解：曲线C：y=

1-x2

曲线是以（0，01）为圆心，1为半径位于x轴上方的半圆．
当直线l过点A（-1，0）时，直线l与曲线有两个不同的交点，
此时0=-1+a，解得a=1，
当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心（0，0）到直线x-y-a=0的距离d=

|a|

2

=1，
解得a=

2

或-

2

（舍去），
若曲线C和直线l有且仅有两个不同的交点，
则直线l夹在两条直线之间，
因此1≤a＜

2

，
故答案为：[1，

2

）

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的计算能力．