Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2．
（1）证明：EF∥平面PBC；
（2）若$PB=\sqrt{6}$，求二面角E-DF-A的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，推导出EF∥PC，由此能证明EF∥平面PBC．
（2）取AD中点O，连接OB，OP，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-DF-A的正弦值．

解答 证明：（1）连接AC，因为四边形ABCD是菱形，F为BD中点，所以F为AC中点．
又因为E为PA中点，所以EF∥PC，
又EF?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC． …（5分）
解：（2）取AD中点O，连接OB，OP，
因为PA=PD，所以PO⊥AD，
因为菱形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BO⊥AD，
由已知$BO=\sqrt{3}，PO=\sqrt{3}$，若$PB=\sqrt{6}$，由BO²+PO²=PB²得PO⊥BO．
如图，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
由题意得A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），F（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{3}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），设平面DEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}，1，3$），
又因为平面ABD的法向量$\overrightarrow{OP}=（0，0，\sqrt{3}）$，
所以cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{OP}|}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，故sin＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OP}$＞=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
即二面角E-DF-A的正弦值为$\frac{2\sqrt{13}}{13}$． …（12分）

点评 本题考查空间位置关系的判断与证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．