Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为A₁B和CC₁的中点．求：

（Ⅰ）直线MN和BC所成角的正切值；
（Ⅱ）直线A₁B和平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）点N到直线AB的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BB₁中点E，连接MN，NE，ME，根据中点得EN∥BC，然后在RT△MNE中求出tan∠MNE即可；
（Ⅱ）根据原图是棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，可直接得到∠A₁BA即为直线A₁B和平面ABCD所成角，再求出∠A₁BA即可；
（Ⅲ）连接BN，根据原图是棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，先得到 AB⊥面BCC₁B₁，进而得 AB⊥BN，得BN的长即为点N到直线AB的距离，然后在RT△BCN中，求出BN即可．

解答：解：取BB₁中点E，连接MN，NE，ME．
（Ⅰ）∵E，N分别为BB₁，CC₁
∴EN∥BC，
∴∠MNE或其补角即为直线MN和BC所成角，
又∵M，E也分别为对应边的中点，
所以  ME∥AB．
又因为AB⊥BC．
∴ME⊥EN，在RT△MNE中，tan∠MNE=

ME

NE

=

a 2

a

=

1

2

．
故直线MN和BC所成角的正切值为 

1

2

．
（Ⅱ）∵原图是棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴∠A₁BA即为直线A₁B和平面ABCD所成角．
又因为  A₁A⊥AB，A₁A=AB．
∴∠A₁BA=45°．
故直线A₁B和平面ABCD所成角为45°
（Ⅲ）连接BN，
∵原图是棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
所以 AB⊥面BCC₁B₁，
∴AB⊥BN．
故BN的长即为点N到直线AB的距离，
在RT△BCN中，BN=

BC2+CN2

=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a．
所以点N到直线AB的距离为

5

2

a

点评：本题是对立体几何知识的综合考查，涉及到线线角以及线面角的求法和点到直线的距离问题，在求直线和直线所成角时，一般是通过平移，把问题转化到在一个三角形中求两边的夹角问题．