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8.已知函数f(x)=x+$\frac{4}{x}$
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)证明f(x)在区间[2,+∞)上是增函数.

分析 (1)先求f(x)定义域为{x|x≠0},容易得到f(-x)=-f(x),从而f(x)为奇函数;
(2)根据增函数的定义,设任意的x1>x2≥2,然后作差,通分,提取公因式x1-x2,从而证明f(x1)>f(x2),这便可得出f(x)在[2,+∞)上是增函数.

解答 解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠0};
f(-x)=-x-$\frac{4}{x}$=-f(x);
∴f(x)为奇函数;
(2)证明:设x1>x2≥2,则:
$f({x}_{1})-f({x}_{2})={x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{4}{{x}_{2}}$=$({x}_{1}-{x}_{2})(1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}})$;
∵x1>x2≥2;
∴x1-x2>0,x1x2>4,$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}>0$;
∴$({x}_{1}-{x}_{2})(1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}})>0$;
∴f(x1)>f(x2);
∴f(x)在[2,+∞)上是增函数.

点评 考查函数奇偶性的定义,以及判断函数奇偶性的方法和过程,增函数的定义,及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程,作差的方法比较f(x1),f(x2),作差后是分式的一般要通分,一般要提取公因式x1-x2

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