Question

5．如图．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）如图1，已知$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，点G是侧面B₁BCC₁的中心，试用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示下列向量：$\overrightarrow{D{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{A}_{1}}$，$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{DG}$．
（2）如图2，点E，F，G分别是$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}D}$，$\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}$的中点，请选择恰当的基底向量．证明：①EG∥AC；②平面EFG∥平面AB₁C．

Answer 1

分析 （1）利用向量的加法，可得结论；
（2）①证明$\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{E{D}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}G}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，即可证明结论；
②证明EG∥平面AB₁C，EF∥平面AB₁C，利用EF∩EG=E，即可证明平面EFG∥平面AB₁C．

解答 （1）解：由题意，$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CG}$=$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$．
（2）证明：①$\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{E{D}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}G}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
∴EG∥AC；
②由①EG∥AC，EG?平面AB₁C，AC?平面AB₁C，∴EG∥平面AB₁C．
同理EF∥平面AB₁C．
∵EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面AB₁C．

点评 本题考查向量知识的运用，考查线线平行，线面、面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．