Question

（本小题满分12分）
已知数列满足
（I）求的取值范围；
（II）是否存在，使得？证明你的结论。

Answer 1

解：
（Ⅰ）由a₂＝＜a₁解得－3＜a₁＜0或a₁＞3．………………………………1分
当－3＜a₁＜0时，a₂＝＜＝－3，
a₃－a₂＝－a₂＝＞0，a₃＞a₂，与题设矛盾．…………………………3分
当a₁＞3时，先用数学归纳法证明a_n＞3．
（1）当n＝1时不等式成立．
（2）假设当n＝k时不等式成立，即a_k＞3，则
a_k＋1＝＞＝3，
即当n＝k＋1时不等式仍成立．
根据（1）和（2），对任何n∈N^*，都有a_n＞3．………………………………6分
∵a_n＋1－a_n＝－a_n＝＜0，∴a_n＋1＜a_n，n∈N^*，
综上，a₁的取值范围是(3，＋∞)．………………………………………………8分
（Ⅱ）假设存在使题设成立的正整数m，则
(a_m－3)(a_m＋2－3)＝(a_m＋1－3)²即(a_m－3)·＝(a_m＋1－3)²，
∴a_m－3＝2a_m＋1，即a_m－3＝，从而a_m＝－3，这不可能．

略