Question

3．在△ABC中，tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC，若AB=1，则4AC+BC的最大值为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由已知式子化简变形讨论可得C=$\frac{π}{3}$，再由正弦定理结合两角和差的正弦公式化简4AC+BC，由三角函数的最值可得．

解答 解：∵在△ABC中，tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC，
∴tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$）=2sinC，
∴$\frac{sin（\frac{π}{2}-\frac{C}{2}）}{cos（\frac{π}{2}-\frac{C}{2}）}$=2sinC，
∴$\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}$=4sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$，即cos$\frac{C}{2}$（4sin²$\frac{C}{2}$-1）=0，
解得cos$\frac{C}{2}$=0或4sin²$\frac{C}{2}$-1=0，
即cos$\frac{C}{2}$=0或cosC=$\frac{1}{2}$，
∴C=π（舍去），或C=$\frac{π}{3}$，
又∵AB=1，∴$\frac{1}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，
∴AC=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinB，BC=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinA，又B=$\frac{2π}{3}$-A，
∴4AC+BC=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinA=$\frac{8}{\sqrt{3}}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinA=4cosA+2$\sqrt{3}$sinA，
∴4AC+BC的最大值为$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{16+12}$=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查解三角形的应用，涉及正弦定理和同角三角函数的基本关系，以及三角函数的化简求最值，属中档题．利用辅助角公式是解决本题的关键．