精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△OED,ODF都是正三角形.
(Ⅰ)证明:平面ABC∥平面OEF;
(Ⅱ)求棱锥F-ABC的体积;
(III)求异面直线AB与FD成角的余弦值.
分析:(Ⅰ)利用三角形中位线的性质证明故BC∥EF,AC∥OF,即可证明平面ABC∥平面OEF;
(Ⅱ)利用等体积VF-ABC=VC-ABE=VC-ABO,即可求棱锥F-ABC的体积;
(III)证明∠COE(或其补角)就是异面直线AB与FD成角,取AO中点M,连接CM,ME,则CM⊥平面ABED,在△COE中,利用余弦定理,即可求异面直线AB与FD成角的余弦值.
解答:(I)证明:设G是线段DA与线段EB延长线的交点,
由于△OAB与△ODE都是正三角形,所以OB∥DE,OB=
1
2
DE
同理,设G′是线段DA与线段FC延长线的交点,有OG′=OD=2,
又由于G与G′都在线段DA的延长线上,所以G与G′重合,
在△GED和△GFD中,由OB∥DE,OB=
1
2
DE和OC∥DF,OC=
1
2
DF,
可知B,C分别是GE,GF的中点,
所以BC是△GFE的中位线,故BC∥EF
同理AC∥OF,∴平面ABC∥平面OEF;
(Ⅱ)解:过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q.由平面ABED⊥平面ACFD,FQ就是四棱锥F-OBED的高,且FQ=
3

由(I)知,VF-ABC=VC-ABE=VC-ABO=
1
3
S△ABO
3
2
=
1
3
3
4
3
2
=
1
8

(III)解:由(I)知,AB∥OE,CO∥DF
∴∠COE(或其补角)就是异面直线AB与FD成角,
取AO中点M,连接CM,ME,则CM⊥平面ABED,
∵ME=
1
4
+4-2×
1
2
×2×(-
1
2
)
=
21
2

∴CE=
CM2+ME2
=
3
4
+
21
4
=
6

在△COE中,cos∠COE=
1+4-6
2×1×2
=-
1
4

∴异面直线AB与FD成角的余弦值是
1
4
点评:本题考查面面平行,考查三棱锥体积的计算,考查异面直线所成角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是
12π
12π

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:黑龙江省模拟题 题型:解答题

已知ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB, △OAC, △ODE, △ODF都是正三角形.
(Ⅰ)证明直线BC∥EF;
(Ⅱ)求棱锥F-OBED的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:黑龙江省模拟题 题型:解答题

已知ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB, △OAC, △ODE, △ODF都是正三角形.
(Ⅰ)证明直线BC∥EF;
(Ⅱ)求棱锥F-OBED的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年黑龙江省哈尔滨三中高一(下)期末数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△OED,ODF都是正三角形.
(Ⅰ)证明:平面ABC∥平面OEF;
(Ⅱ)求棱锥F-ABC的体积;
(III)求异面直线AB与FD成角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案
闂備胶枪妤犲繘骞忛敓锟� 闂傚倸鍊搁崑濠囧箯閿燂拷