Question

在正三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE且BC=

2

，若此正三棱锥的四个顶点都在球O的面上，则球O的体积是（　　）

• A．

  3

  6

  π
• B．

  3

  2

  π
• C．

  3

  3

  π
• D．3

  3

  π

Answer 1

分析：先证明三棱锥的三个顶角都是90°，然后根据底面边长为

2

，各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角，故此正三棱锥的外接求即此正方体的外接球，由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径，则体积易求．

解答：解：∵EF∥AC，EF⊥DE
∴AC⊥DE
∵AC⊥BD（正三棱锥性质）
∴AC⊥平面ABD
所以正三棱锥A-BCD是正方体的一个角，AB=1，
从而得此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为

2

，边长为1．
正方体的体对角线是

1+1+1

=

3

．
故外接球的直径是

3

，半径是

3

2

．
故其体积是

4

3

πR3=

4π

3

×(

3

2

)3=

3

2

π．
故选B．

点评：本题考查椎体体积计算公式，本题考查球内接多面体，解题的关键是找到球的直径与其内接多面体的量之间的关系，由此关系求出球的半径进而得到其体积．考查空间想象能力，是基础题．