Question

已知实数x，y满足

y≥0 y-x+1≤0 y-2x+4≥0

若z=y-ax取得最大值时的最优解（x，y）有无数个，则a的值为

1

．

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，而z=y-ax的几何意义是直线y=ax+z的纵截距，根据z=y-ax取得最大值时的最优解（x，y）有无数个，可得y=ax+z与直线y-x+1=0方向相同，根据平行直线的斜率关系，可算出实数a值．

解答：解：作出不等式组

y≥0 y-x+1≤0 y-2x+4≥0

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，2），B（1，0），C（2，0）
设z=F（x，y）=y-ax，将直线l：z=y-ax进行平移，
观察y轴上的截距变化，可得直线l越向上移，z的值越大，
∵z=y-ax取得最大值时的最优解（x，y）有无数个，
∴直线l与AB方向相同，平移l与AB重合时，线段AB上任意一点的坐标都是z取得最大值时的最优解．
因此直线l的斜率等于直线AB的斜率，可得a=1
故答案为：1

点评：本题给出不等式组表示的平面区域，在目标函数取得最优解的（x，y）有无数个的情况下求参数a的值．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．