Question

给出下列四个命题：
①在△ABC中，∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件；
②给定命题p，q，若“p或q”为真，则“p且q”为真；
③设a，b，m∈R，若a＜b，则am²＜bm²；
④若直线l₁：ax+y+1=0与直线l₂：x-y+1=0垂直，则a=1．
其中正确命题的序号是（　　）

A．①③

B．①④

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：①我们先用和差化积化简sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

，在△ABC中，可得cos

A+B

2

＞O，再由0＜B＜A＜π?0＜sin

A-B

2

＜1，进而可判断出．
②弄清“p或q”命题、“p且q”命题的真假与命题p、q的真假之间的关系，可以判断出②是否正确．
③要注意m²≥0，而当m=0时，am²=bm²，据此可判断出答案．
④在两直线的斜率存在的条件下，两直线垂直的充要条件是：kl1kl2=-1，据此可以求出a=1．

解答：解：①∵sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

，
由0＜A+B＜π，∴0＜

A+B

2

＜

π

2

，∴0＜cos

A+B

2

＜1；由0＜B＜A＜π，∴0＜A-B＜π，∴0＜

A-B

2

＜

π

2

，∴0＜sin

A-B

2

＜1，
∴sinA-sinB＞0．
反之，若sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

＞0成立，∵0＜cos

A+B

2

＜1成立，∴sin

A-B

2

＞0，
又0＜A＜π，0＜B＜π，∴-

π

2

＜

A-B

2

＜

π

2

，∴0＜

A-B

2

＜

π

2

，∴A＞B成立．故①正确．
②命题p，q中有一个为真，则命题“p或q”为真，而只有当p与q都为真时，命题“p且q”才为真，故②是假命题．
③若m²=0时，虽然a＜b，但是am²=bm²，故③是假命题．
④∵l₁⊥l₂，∴kl1kl2=-1，∴（-a）×1=-1，∴a=1．所以④正确．
由以上可知①④正确．
故答案是B．

点评：本题考察复合命题的真假及充要条件．