Question

设向量

a

=(x，2)，

b

=(x+n，2x-1)（n∈N^*），函数y=

a

•

b

在[0，1]上的最大值与最小值的和为a_n，又数列{b_n}满足：nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1．
（1）求a_n、b_n的表达式．
（2）C_n=-a_nb_n，问数列{c_n}中是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有C_n≤C_k成立，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由向量的数量积写出函数y，函数是二次函数，求出函数在[0，1]上的最值，则a_n可求，然后在给出的递推式中取n=n-1再写出一个，两式相减可得数列{b_n}的前n项和，则b_n可求；
（2）把a_n、b_n代入c_n的表达式后化为关于n的函数，由函数式的值等于0分析n的取值．

解答：解；（1）y=

a

•

b

=（x，2）（x+n，2x-1）=x²+（n+4）x-2，对称轴为x=-

n+4

2

＜0，所以函数在[0，1]上递增，
当x=0时，y_min=-2，当x=1时，y_max=n+3，∴a_n=-2+n+3=n+1．
又因为nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1                   ①
令n=n-1，则(n-1)b1+(n-2)b2+…+bn-1=(

9

10

)n-2+(

9

10

)n-3+…+

9

10

+1     ②
①-②得：b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=(

9

10

)n-1
所以Sn=(

9

10

)n-1
当n=1时，b₁=S₁=1，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(

9

10

)n-1-(

9

10

)n-2=-

1

10

•(

9

10

)n-2
所以bn=

1n=1 - 1 10 •( 9 10 )n-2n≥2

（2）Cn=-anbn=

-2n=1 n+1 10 •( 9 10 )n-2n≥2

，设存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有C_n≤C_k成立，
因为C2-C1=

3

10

+2=

23

10

＞0，所以C₂＞C₁，
当n≥2时，Cn+1-Cn=(

9

10

)n-2•

8-n

100

，所以当n＜8时，C_n+1＞C_n
当n=8时，C_n+1=C_n，当n＞8时，C_n+1＜C_n
∴C₁＜C₂＜…＜C₈=C₉＞C₁₀＞…，
∴存在正整数k=8或9，使得对于任意的正整数n，都有C_n≤C_k成立．

点评：本题考查了数列的递推式及数列与不等式的综合，训练了错位相减法，在给出数列的前n项和后，求数列通项时一定要讨论n=1时的情况．