Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²（a、b∈R）．
（1）当a=0，b=-3时，求函数f（x）在[-1，3]上的最大值；
（2）若函数f（x）在x=1处有极值10，求f（x）的解析式；
（3）当a=-2时，若函数f（x）在[2，+∞）上是单调增函数，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=0，b=-3代入原函数，求出原函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，通过列表分析导函数在各区间段内的符号，得到原函数在各区间段内的单调性，找出极值点，求出极值，求出闭区间的端点处的函数值，则函数f（x）在[-1，3]上的最大值可求；
（2）由函数f（x）在x=1处有极值10，则f^′（1）=0，f（1）=10，联立后可求a，b的值，则函数解析式可求；
（3）把a=-2代入原函数解析式，然后求其导函数，由函数f（x）在[2，+∞）上是单调增函数，得到f'（2）≥0，由此可求b的取值范围．
解答：解：（1）当a=0，b=-3时，f（x）=x³-3x，
所以f′（x）=3x²-3，
令 f′（x）=0，解得 x₁=-1，x₂=1
列表：

x	-1	（-1，1）	1	（1，3）	3
f′（x）		-		+
f（x）	极大值2	减函数	极小值-2	增函数	18

从上表可知，函数f（x）在[-1，3]上的最大值为18． 
（2）因为f（x）=x³+ax²+bx+a²，所以f'（x）=3x²+2ax+b，
由已知条件，得即 
解得 或
下面分别检验：
①当a=4，b=-11时，f（x）=x³+4x²-11x+16，f′（x）=3x²+8x-11，
令f′（x）=0，即 3x²+8x-11=0，解得 ，x₂=1，
列表：

x				1	（1，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值10	增函数

由上表可知，f（x）在x=1处取极小值10，符合题意．
②当a=-3，b=3时，f（x）=x³-3x²+3x+9，f′（x）=3x²-6x+3=3（x²-2x+1）=3（x-1）²≥0，f（x）为增函数，不合题意，舍去．
所以当a=4，b=-11时，f（x）=x³+4x²-11x+16为所求函数的解析式．
综上所述，所求函数的解析式为f（x）=x³+4x²-11x+16． 
（3）当a=-2时，f（x）=x³-2x²+bx+4，f'（x）=3x²-4x+b，
此导函数是二次函数，二次项系数大于0，且对称轴为，
因为函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以f^′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
也就是f'（2）≥0，
即 3×2²-4×2+b≥0，解得b≥-4，
所以，b的取值范围是[-4，+∞）．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数在某区间上是单调函数，则函数的导函数在该区间上恒大于等于0或恒小于等于0，考查了函数解析式得求解及常用方法，利用了函数在极值点处的导数等于0，考查了利用导数研究函数的最值，此题属中档题．