Question

3．已知$\overrightarrow{a}$=（cosα，1，sinα），$\overrightarrow{b}$=（sinα，1，cosα），则向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角是（　　）

• A． 90°
• B． 60°
• C． 30°
• D． 0°

Answer 1

分析 根据向量的坐标运算与数量积运算，计算（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，从而得出向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为90°．

解答 解：$\overrightarrow{a}$=（cosα，1，sinα），$\overrightarrow{b}$=（sinα，1，cosα），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（cosα+sinα，2，sinα+cosα），
$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（cosα-sinα，0，sinα-cosα），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=（cosα+sinα）（cosα-sinα）+2×0+（sinα+cosα）（sinα-cosα）=0，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
即向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为90°．
故选：A．

点评 本题考查了空间向量的坐标运算和数量积运算问题，是基础题目．