Question

【题目】已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣2ax）有两个极值点，则a的取值范围为（　　）
A.（﹣∞，1）
B.
C.（0，1）
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）=x（lnx﹣2ax）的定义域为（0，+∞），

求导f′（x）=lnx﹣2ax+x（ ﹣2a）=lnx﹣4ax+1，

∵函数f（x）有2个极值点，

∴f′（x）=lnx﹣4ax+1=0有两个不相等的实数根，

当a＞0时，令g（x）=lnx﹣4ax+1，则g′（x）= ﹣4a= ，

由g′（x）＞0得0＜x＜ ，由g′（x）＜0解得：x＞ ，

∴g（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减，

∴g（x）最大值=g（ ）=﹣ln（4a）＞0，

∴0＜4a＜1，0＜a＜ ，

∴a的范围是（0， ），

所以答案是：D．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．