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    已知正四棱锥P—ABCD的底面边长和各侧棱长都是13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8．

    (1)求证：MN∥平面PBC；

    (2)求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值．

     

    答案：
    解析：

    (1)证明：如图，连结AN并延长交BC于E，连结PE，∵AD∥BC，

    ∴△AND∽△BNE，

    ∴EN∶AN=BN∶ND．

    又BN∶ND=PM∶MA，

    ∴EN∶AN∶PM∶MA．

    ∴MN∥PE．

    又PE平面PBC，∴MN∥平面PBc．

    (2)解：由(1)知MN∥PE，

    ∴PE与平面ABCD所成的角即MN与平面AC所成的角．

    设底面中心为O，连结PO，则PO⊥面AC，连结OE，则∠PEO为PE与底面AC所成角，

    PO==．

    ∵BE∶AD=BN∶ND=5∶8，∴BE=AD=．

    又在△PBE中，由余弦定理得PE=，

    ∴在Rt△POE中，sinPEO==．

     


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    ．精英家教网

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    （1）用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值；
    （2）当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的大小．
    （结果用反三角函数值表示）

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    （1）用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值；
    （2）当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的大小．
    （结果用反三角函数值表示）

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