【题目】如图,在直三棱柱中,已知,,,.是线段的中点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的大小的余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题(1)利用空间向量研究线面角,首先建立恰当空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求面的法向量,最后利用向量数量积求夹角余弦值的绝对值,也是线面角的正弦值(2)利用空间向量研究二面角,首先建立恰当空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求两个平面的法向量,最后利用向量数量积求夹角余弦值,根据图形确定二面角的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系.
试题解析:因为在直三棱柱中,,所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,
则,
因为是的中点,所以,
(1)因为,设平面的法向量,
则,即,取,
所以平面的法向量,而,
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为;
(2),,设平面的法向量,
则,即,取,平面的法向量,
所以,
二面角的大小的余弦值.
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【题目】随着我国经济的发展,居民收入逐年增长.某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人均纯收入 | 5 | 4 | 7 | 8 | 10 |
(1)求关于的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测2019年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少?
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且椭圆短轴的一个顶点到左焦点的距离等于.
(1)求椭圆的方程;
(2)设经过点的直线交椭圆于两点,弦的中垂线交轴于点.
①求实数的取值范围;
②若,求实数的值.
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【题目】中国古代数学经典《数书九章》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中点O为球心,AC为直径的球面交PD于M(异于点D),交PC于N(异于点C).
(1)证明:平面,并判断四面体MCDA是否是鳖臑,若是,写出它每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】设函数.
(1)若,求函数在处的切线方程;
(2)若函数在和处有两个极值点,其中,.
(i)求实数的取值范围;
(ii)若(e为自然对数的底数),求的最大值.
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