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【题目】已知函数
f(x)=(cosx﹣x)(π+2x)﹣ (sinx+1)
g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣
证明:
(1)存在唯一x0∈(0, ),使f(x0)=0;
(2)存在唯一x1∈( ,π),使g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的x0 , 有x0+x1<π.

【答案】
(1)证明:∵当x∈(0, )时,f′(x)=﹣(1+sinx)(π+2x)﹣2x﹣ cosx<0,

∴函数f(x)在(0, )上为减函数,

又f(0)=π﹣ >0,f( )=﹣π2 <0;

∴存在唯一的x0∈(0, ),使f(x0)=0;


(2)证明:考虑函数h(x)= ﹣4ln(3﹣ x),x∈[ ,π],

令t=π﹣x,则x∈[ ,π]时,t∈[0, ],

记函数u(t)=h(π﹣t)= ﹣4ln(1+ t),

则u′(t)=

=

=

=

=

由(Ⅰ)得,当t∈(0,x0)时,u′(t)>0;

在(0,x0)上u(x)是增函数,又u(0)=0,∴当t∈(0,x0]时,u(t)>0,

∴u(t)在(0,x0]上无零点;

在(x0 )上u(t)是减函数,且u(x0)>0,u( )=﹣4ln2<0,

∴存在唯一的t1∈(x0 ),使u(t1)=0;

∴存在唯一的t1∈(0, ),使u(t1)=0;

∴存在唯一的x1=π﹣t1∈( ,π),使h(x1)=h(π﹣t1)=u(t1)=0;

∵当x∈( ,π)时,1+sinx>0,∴g(x)=(1+sinx)h(x)与h(x)有相同的零点,

∴存在唯一的x1∈( ,π),使g(x1)=0,

∵x1=π﹣t1,t1>x0,∴x0+x1<π.


【解析】(1)根据x∈(0, )时,f′(x)<0,得出f(x)是单调减函数,
再根据f(0)>0,f( )<0,得出此结论;(2)构造函数h(x)= ﹣4ln(3﹣ x),x∈[ ,π],令t=π﹣x,得u(t)=h(π﹣t),求出u(t)存在唯一零点t1∈(0, ),即证g(x)存在唯一的零点x1∈( ,π),满足x0+x1<π.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案.

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广告支出x(单位:万元)

1

2

3

4

销售收入y(单位:万元)

12

28

42

56

(1)画出表中数据的散点图;

(2)求出yx的回归直线方程

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参考公式:

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(1)根据上表说明,能否有的把握认为,收看开幕式与性别有关?

(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法,选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍,设选取的3 人中女生人数为,写出的分布列,并求.

附:,其中.

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产品重量

甲方案频数

乙方案频数

(1)求出甲(同组中的重量值用组中点值代替)方案样本中件产品的平均数;

(2)若以频率作为概率,试估计从两种方案分别任取件产品,恰好两件产品都是合格品的概率分别是多少;

(3)由以上统计数据完成下面列联表,并回答有多大把握认为“产品是否为合格品与改良方案的选择有关”.

甲方案

乙方案

合计

合格品

不合格品

合计

参考公式: ,其中.

临界值表:

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